高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
连结 BH,∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角. 3 AB 3 HB 6 在 Rt△NHB 中,cos∠NBH= = = . NB 3 2 AB 2 解法二： 如图,建立空间直角坐标系 M－xyz. 令 MN=1,
M
z
C
H
o
B
N
则有 A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0), (Ⅰ)∵MN 是 l1、l2 的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面 ABN. l2 平行于 z 轴. 故可设 C(0,1,m). 于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴AC⊥NB. x
y
∴=1+(－1)+0=0
(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC 为正三角形,AC=BC=AB=2. 在 Rt△CNB 中,NB= 2, 可得 NC= 2,故 C(0,1, 连结 MC,作 NH⊥MC 于 H,设 H(0,λ, ∴=(0,1－λ,－ 2λ), =(0,1, 2) 2).
2λ) (λ>0).
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∵ = 1－λ－2λ=0, ∴λ=
1 , 3
1 2 2 2 1 2 ∴H(0, , ), 可得=(0, , － ), 连结 BH, 则=(－1, , ), 3 3 3 3 3 3 2 2 ∵=0+ － =0, ∴⊥, 又 MC∩BH=H, ∴HN⊥平面 ABC, ∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所 9 9 成的角. 又=(－1,1,0), 4 3 2 × 2 3
∴cos∠NBH= =
=
6 . 3
简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、 考点 8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择 题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断 题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断. 典型例题 例 12 . 如图（1） ，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚 线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器， 当这个正六棱柱容器的底面边长为 容积最大. [思路启迪]设四边形一边 AD，然后写出六棱柱体积，利用均值不等式，求出体积取最值时 AD 长度即可. 解答过程：如图（2）设 AD＝a，易知∠ABC＝60°，且∠ABD＝30° AB＝ 3 a . BD＝2a 正六棱柱体积为 V .
2 2 V＝ 6 （ －2a） sin 60° 3a ＝ （ －2a） a 1 1
时
1 2
9 2
9 9 2 3 (1 2a )(1 2a ) 4a ≤ （ ） . 8 8 3 1 当且仅当 1－2a＝4a a＝ 时，体积最大， 6 1 2 此时底面边长为 1－2a＝1－2× ＝ . 6 3 1 ∴ 答案为 . 6
＝ 例 13 .如图左，在正三角形 ABC 中，D、E、F 分别为各边的中点，G、H、I、J 分