高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
（2） 小结 当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论 证作出的角为所求的角， ③计算——常用解三角形的方法求角， ④结论——点明直线和平面 所成的角的值. 考点 6 二面角 此类题主要是如何确定二面角的平面角， 并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合 适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视. 典型例题 （2007 年湖南卷文） 年湖南卷文） 例 8． ． （ 如图，已知直二面角 α PQ β ， A ∈ PQ ， B ∈ α ， C ∈ β ， CA = CB ， ∠BAP = 45 ， 直线 CA 和平面 α 所成的角为 30 ．
β C
P （I）证明 BC ⊥ PQ ； （II）求二面角 B AC P 的大小． 命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思 命题目的 维能力和运算能力. 过程指引： 过程指引 （I）在平面 β 内过点 C 作 CO ⊥ PQ 于点 O ，连结 OB ． 因为 α ⊥ β ， α ∩ β = PQ ，所以 CO ⊥α ， 又因为 CA = CB ，所以 OA = OB ． 而 ∠BAO = 45 ，所以 ∠ABO = 45 ， ∠AOB = 90 ， 从而 BO ⊥ PQ ，又 CO ⊥ PQ ， 所以 PQ ⊥ 平面 OBC ．因为 BC 平面 OBC ，故 PQ ⊥ BC ． （II）解法一：由（I）知， BO ⊥ PQ ，又 α ⊥ β ， α ∩ β = PQ ， P A B Q
α
β C
B O
H A Q
α
BO α ，所以 BO ⊥ β ．
过点 O 作 OH ⊥ AC 于点 H ，连结 BH ，由三垂线定理知， BH ⊥ AC ． 故 ∠BHO 是二面角 B AC P 的平面角． 由（I）知， CO ⊥α ，所以 ∠CAO 是 CA 和平面 α 所成的角，则 ∠CAO = 30 ，
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不妨设 AC = 2 ，则 AO =
3 ， OH = AO sin 30 =
3 ． 2
在 Rt△OAB 中， ∠ABO = ∠BAO = 45 ，所以 BO = AO = 3 ， 于是在 Rt△BOH 中， tan ∠BHO =
BO = OH
3 3 2
= 2．
故二面角 B AC P 的大小为 arctan 2 ． 解法二：由（I）知， OC ⊥ OA ， OC ⊥ OB ， OA ⊥ OB ，故可以 O 为原点，分别以直线
OB，OA，OC 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图） ．
因为 CO ⊥ a ，所以 ∠CAO 是 CA 和平面 α 所成的角，则 ∠CAO = 30 ． 不妨设 AC = 2 ，则 AO =
3 ， CO = 1 ．
在 Rt△OAB 中， ∠ABO = ∠BAO = 45 ， 所以 BO = AO = 3 ． 则相关各点的坐标分别是 P
β C z