高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
（2006 年广东卷）如图所示，AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平 例
6． 面均垂直，AD＝8,BC 是⊙O 的直径，AB＝AC＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角 B—AD—F 的大小； (Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角. 命题目的：本题主要考查二面角以及异面直线所成的角等基 命题目的 本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引：关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角并 过程指引 掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法. 解答过程： (Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, 解答过程 ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAF 是二面角 B—AD—F 的平面角.
∵ AF、BC 是圆 O的直径， ABFC 是矩形 ∴ 又 ∵ AB = AC = 6， ABFC 是正方形 ∴ 由于 ABFC 是正方形，所以∠BAF＝450. 即二面角 B—AD—F 的大小为 450； ，
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(Ⅱ)以 O 为原点，BC、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示） ，则 O（0，0，0） ，A（0， 3 2 ，0） ，B（ 3 2 ，0，0）,D（0， 3 2 ，8） ，E（0，0，
8） ， F（0， 3 2 ，0） 所以， BD = (3 2 ,3 2 ,8), FE = (0,3 2 ,8)
cos < BD, FE >=
BD FE 0 + 18 + 64 82 = = . 10 | BD || FE | 100 × 82
设异面直线 BD 与 EF 所成角为 α ，则 . cos α = cos < BD, FE > =
82 . 10 82 . 10
故直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos 考点 5 直线和平面所成的角
此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算. 线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容. 典型例题 例 7.（2007 年全国卷Ⅰ理） （ 全国卷Ⅰ 四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ．已知∠ABC = 45 ， S
AB = 2 ， BC = 2 2 ， SA = SB = 3 ．
D
C A
B
（Ⅰ）证明 SA ⊥ BC ； （Ⅱ）求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小． 考查目的： 考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系， 二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力． 解答过程： （Ⅰ）作 SO ⊥ BC ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ， 解答过程：解法一： 得 SO ⊥ 底面 ABCD ． 因为 SA = SB ，所以 AO = BO ， 又 ∠ABC = 45 ，故 △ AOB 为等腰直角三角形， AO ⊥ BO ， 由三垂线定理，得 SA ⊥ BC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 SA ⊥ BC ，依题设 AD ∥ BC ， 故 SA ⊥ AD ，由 AD = BC = 2 2 ， SA = 3 ， AO =
S
2 ，得
SO = 1 ， SD = 11 ．
C
O
B A
△SAB 的面积 S1 = 1 ABi SA2 1 AB = 2 ． 2 2
2