高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
别为 AF、 AD、BE、DE 的中点，将△ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥后，GH 与 IJ 所成角的度数为 （ ） A H J D I B E I D J F G F C H (A、B、C)
G
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A、90°
B、60°
C、45°
D、0°
[思路启迪] 画出折叠后的图形，可看出 GH，IJ 是一对异面直线，即求异面直线所成角. 过点 D 分别作 IJ 和 GH 的平行线，即 AD 与 DF，所以 ∠ADF 即为所求. 因此 GH 与 IJ 所成角为 60°，答案:B 例 14.长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， ① 设对角线 D1B 与自 D1 出发的三条棱分别成α、β、 γ 角 求证：cos2α＋cos2β＋cos2 γ ＝1 ② 设 D1B 与自 D1 出发的三个面成α、β、 γ 角，求证： cos2α＋cos2β＋cos2 γ ＝2 [思路启迪] ①因为三个角有一个公共边即 D1B，在构造 的直角三角形中，角的邻边分别是从长方体一个顶点出 发的三条棱，在解题中注意使用对角线长与棱长的关系 ③ 利用长方体性质，先找出α，β， γ ，然后利用各边 ④ 所构成的直角三角形来解. 解答过程：①连接 BC1，设∠BD1C1＝α，长方体三条棱 长分别为 a，b，c，设 D1B＝ l 则 cos2α＝ A B A1 D1 C1 B1 D
C A
a2 l2
同理 cos2β＝
b2 c2 ，cos2 γ ＝ 2 l2 l
∴cos2α＋cos2β＋cos2 γ ＝
a 2＋b 2＋c 2 ＝1 l2
②连接 D1C，∵ BC⊥平面 DCC1D1 ∴ ∠BD1C 即是 D1B 与平面 DCC1D1 所成的角， 不妨设∠BD1C＝α， cos2α＝ 则
a 2＋b 2 l2
同理：cos2β＝
b 2＋c 2 c2 + a2 ，cos2 γ ＝ . l2 l2
又∵ l 2＝a2＋b2＋c2. ∴cos2α＋cos2β＋cos2 γ ＝
2(a 2＋b 2＋c 2 ) ＝2. l2
考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算 简单多面体的侧面积及体积和球的计算 棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积 V 等于底面积与高的乘积.
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棱锥体积 V 等于 典型例题
1 Sh 其中 S 是底面积，h 是棱锥的高. 3
例 15. 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝ 2 a，BC＝CA＝AA1＝a， A1 在底面△ABC 上的射影 O 在 AC 上 ① 求 AB 与侧面 AC1 所成角； ② 若 O 恰好是 AC 的中点，求此三棱柱的侧面积. [思路启迪] ①找出 AB 与侧面 AC1 所成角即是∠CAB； ②三棱锥侧面