高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧
y
B1
x
（Ⅱ）设平面 A1 AD 的法向量为 n = ( x，y，z ) ．
AD = (11， 3) ， AA1 = (0， 0) ． ∵ n ⊥ AD ， n ⊥ AA1 ， ， 2，
ni AD = 0， x + y 3 z = 0， y = 0， ∴ ∴ ∴ 2 y = 0， x = 3 z． ni AA1 = 0， 令 z = 1 得 n = ( 3，1) 为平面 A1 AD 的一个法向量． 0， 由（Ⅰ）知 AB1 ⊥ 平面 A1BD ，
∴ AB1 为平面 A1 BD 的法向量．
cos < n ， AB >= ni AB1 = 3 3 = 6 ． 1 4 2i 2 2 n i AB1
∴ 二面角 A A1 D B 的大小为 arccos 6 ．
4
（Ⅲ）由（Ⅱ） AB1 为平面 A1BD 法向量， ，
∵ BC = (2， 0) AB1 = (1， 3) ． 0，， 2，
∴ 点 C 到平面 A1BD 的距离 d = BC i AB1 = 2 = 2 ．
AB1 2 2 2
小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法， 小结 把不易直接求的 B 点到平面 AMB1 的距离转化为容易求的点 K 到平面 AMB1 的距离的计算 方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何 作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法. 例 2.( 2006 年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4.
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(Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD； (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角； (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离. 命题目的： 异面直线所成的角以及点到平面的距离基 命题目的 本题主要考查直线与平面的位置关系、 本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引： 过程指引 方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离 和角； 方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一 般方法. 解答过程： 解答过程 方法一 （Ⅰ）取 AD 的中点，连结 PM，QM. 因为 P－ABCD 与 Q－ABCD 都是正四棱锥， 所以 AD⊥PM，AD⊥QM. 从而 AD⊥平面 PQM. 又 PQ 平面 PQM，所以 PQ⊥AD. 同理 PQ⊥AB，所以 PQ⊥平面 ABCD. （Ⅱ）连结 AC、BD 设 AC ∩ BD = O ，由 PQ⊥平面 ABCD
Q A M D O B C P
及正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上，从而 P、A、Q、C 四点共面.取 OC 的中点 N，连接 PN. 因为
PO 1 NO NO 1 PO NO = , = = ，所以 = ， OQ 2 OA OC 2 OQ OA
从而 AQ∥PN，∠BPN（或其补角）是异面直线 AQ 与 PB 所成的角. 因为 PB = OB + OP =
2 2
(2 2) 2 + 12 = 3 ， PN = ON 2 + OP 2 = ( 2) 2 + 1 = 3.
2
BN = OB 2 ON 2 = ( 2 2 ) + ( 2 ) 2 = 10
所以 cos ∠BPN＝
PB 2＋PN 2 BN 2 9 + 3 10 3 = = . 2 PB PN 9 2× 3× 3