高等数学答案与详解
dy
（2）
dy
f (t) tf (t) f (t)
dt t，对此式再求导，得 dxdxf (t)dt
dy dy dd 2
dy dx dx
2
dtdxdx
dxdt
1f (t)
。
10.解：设在时刻t漏斗中水面高度为h h(t)，漏斗在高为h(t)处的截面圆的半径为r(t)，桶中水面的高度为H H(t).
（1）建立变量h与H之间的关系
因任何时刻t，漏斗中的水量与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量，设水的密度为1，则有
3
r(t)6
h(t)18
r(t)h(t) 5 H(t) 6
2
2
3
又因为 ，所以r(t)
h(t)3
，代入上式，得
3
3
27
h(t) 25 H(t) 6
（2）对上式关于t求导，得
19h(t)
2
dh(t)dt
25
dH(t)dt
0，解得
dH(t)dt
19 25
h(t)
2
dh(t)dt
。
由已知，当h(t) 12cm时，
dh(t)dt
1cm/s，代入上式得
1625
dH(t)dt
12
2
9 25
( 1)
1625
(cm/s)，
故桶中水面上升的速度为 习题2-5
cm/s。
1.解： y (x x) x 2x x ( x)，dy 2x x
y dy 2x x ( x) 2x x ( x)
2
2
222
当 x 0.1时， y dy 0.01， 当 x 0.01时， y dy 0.0001.
2.解： y (x x) x x x x 2x x ( x) x，
dy (2x 1) x，
2
2
2