高等数学答案与详解
f (0)=lim
x 0
f( x) f(0)
x
lim
x 0
x x
1
f (0) f (0) 1，所以f (0)不存在.
13.解：当x 0时，f(x) x3是初等函数，所以f (x) 3x2；同理，当x 0时
x 0x
3
当x 0时f (0)=lim f (x) 3x；
x 0
2
0，f (0)=lim
x 0
x 0x
3
故f ( 0，0) 0，
3x2,
所以f (x) 0,
3x2
x 0
3x2,
x 0或f (x) 2
, 3x
x 0
x 0x 0
.
14．(1)证明：设f( x) f(x)，且f(x)可导，则由导数定义
f( x h) f( x)
h
f(x h) f(x)
h
f[ (x h)] f( x)
h
f ( x) lim
h 0
lim
h 0
lim
h 0
f (x)
即结论可证。 (2)略.
15.解：当f(0) 0时，不妨设f(0) 0，则在x 0的某一邻域中有f(x) 0，故
|f(x) |f(x，所以)|f(x)|在x 0处也可导；
|f(x)| |f(0)|
x 0
f(x) f(0)
x 0
当f(0) 0时，由于 sgnx，其中
1,x 0
sgnx 0,x 0，分别在x 0处计算左、右极限，得在x 0处的左导数为 |f (0)|，
1,x 0
右导数为|f (0)|，所以|f(x)|在x 0处也可导的充分必要条件f (0) 0。 16.略 17.略
习题2-2
1.解：（1） 6sin2x；（2）12cos(3t 1)；（3）6e（4）5(x 1)； （5） 12e
4
3x
8sin2x；
4x
；（6）
1
3
；
(1 x)2
2