高等数学答案与详解
四、解：参数方程为
dy
dydx
6
x (1 cos )cos y (1 cos )sin
，
6
得切点坐
标
2
34
,
12
， 4
dxd
6
cos cos sin sin 2cos sin
6
2
1，故
切线方程为x y
1x
54
0；法线方程为
x y
4
14
0
五、解：f(0) 0,sin为有界函数
1x
0f(0)，即f(x)在x 0处连续；
k 1
k
（1）k 0时，limf(x) limxsin
x 0
x 0
（2）k 1时，lim
f (0)
f(x) f(0)
x
x 0
limx
x 0
sin
1x
0，即f(x)在x 0处可导，且
； 0
（3）当k 2及x 0时
k 1
f (x) kxsin
1x
x
k 2
cos
1x
，得limf (x) lim kxk 1sin
x 0x 0
1x
x
k 2
cos
1
0 f (0)x
从而，f (x)在x 0处连续。
六、证明：因为f (x) a1cosx 2a2cos2x nancosnx，所以
f (0) a1 2a2 nan，而f(0) 0,f (0) lim
f(x) f(0)
x 0
lim
f(x)x
，
x 0x 0
已知|f(x)| |sinx|，于是有
f(x)x
sinxxsinxx
，从而
f (0) lim
f(x)x
x 0
lim
f(x)x
x 0
lim
x 0
lim
sinxx
x 0
所以f (0) 1，故|a1 2a2 nan| 1。 七．证明：由 y dy易得
f(x0 x) f(x0) f (x0) x
1n
1 1
(1)
BA
n
令f(x)
，
则f (x) xn ，取x0 1, x
，由（1）式得