高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
解：
cn 1
cn
n 1n 1
]
（n 0），
nn
]
n 1n 1
cn 2 ]
cn cn 1 cn 2）
原式
=
1
3
z 2z2 z 5z4 55
|z|
1
2
第四章 解析函数的幂级数表示（2）
9．将下列函数在指定环域内展成罗朗级数：
z 1
,0 z 1,1 z .2
（1）zz 1
解：原式
2z 12
z2z 1
2z 122z 1n 2z z2n 0在0 z 1内，上式z21 z
2z 1212z 12 1 2 () 2 n
zz1 1zzn 0z
z在1 z 内，上式z2 2z 5
,1 z 22
(2) z 2 z 1，
1 211111 z1 z
2 () () ( )z 2z 12(1 z)21 (z)22n 022n 02
22解：原式
nn
1 z
()[1 ( 1)n]1 |z| 22n 02
ez
,0 z 12
（3）zz 1
1 zzn1
e( 2) [ z ( z2)]
解：原式2z 1n 0n!2n 0
z
n
n
0 |z| 1
15z（4） 1 z 3 ，0 z 3
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
11111zn
()( ) ( 5(n 1)) n 1z51 131 zzn 0n 03
z53解：当1 |z| 3时，原式=
111zn5n()( ) z n 11 z531 zn 0n 03
3当0 |z| 1时，原式=
（5）解：
sin
z
z 1，0 z 1。
sin
zz 1 111 sin sin1cos cos1sinz 1z 1z 1z 1
sin1
n 0
( 1)n(
12n12n 1n
)( 1)() cos1 (2n)!(2n 1)!n 0
( 1)n( 1)n
sin1 cos1 2n2n 1
(z 1)(2n)!(2n 1)!。 n 0n 0(z 1)
10．将下列各函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立的范围：
1
（1） z解
1
2
1
2
，其中z i。
：
z
2
1
2
1111111
( )
4(z i)24(z i)24iz iz i
1 nz 1 ( z i 2
4z iiiin 0
111111nz in2nz in [( 1)()] ( 1) (2i) 4(z i)24(z i)16n 02i8n 0
i
1
0 |z i |
(
2
（2） z 1 解：
z 1
2
2
e
11 z
，z 1
2
e
11 z
(z 1)
1e
1z 1
1( 1)n
(z 1) nn 2
n 0n!(1 z)n 0n!(1 z)
2
，|z 1| 0
11．把
（1）在z 1上展成z的泰勒级数。 解： z 。 (2)在z 1上展成z的泰勒级数。
1
f z zn
1 zn 0，
f z
1
1 z展成下列级数：